# 身長データ（単位：cm）
height_cm <- c(
  151, 154, 158, 162, 
  154, 152, 151, 167, 
  160, 161, 155, 159, 
  160, 160, 155, 153, 
  163, 160, 165, 146, 
  156, 153, 165, 156, 
  158, 155, 154, 160, 
  156, 163, 148, 151, 
  154, 160, 169, 151, 
  160, 159, 158, 157, 
  154, 164, 146, 151, 
  162, 158, 166, 156, 
  156, 150, 161, 166, 
  162, 155, 143, 159, 
  157, 157, 156, 157, 
  162, 161, 156, 156, 
  162, 168, 149, 159, 
  169, 162, 162, 156, 
  150, 153, 159, 156, 
  162, 154, 164, 161
)

データ数nを確認します。

# データ数の確認
n <- length(height_cm)
n

## [1] 80

したがって、データ数はn=80 です。

度数分布表の作成

身長データの度数分布表の作成方法については、以下の記事で詳しく説明しています。

平均値とは

平均値（mean）は、「データの合計を、データ数で割ったもの」として定義されます。

# 平均値（mean）
mean_height_cm <- sum(height_cm) / n
mean_height_cm

## [1] 157.575

これは、生データから直接計算した「真の平均値」です。

度数分布表から平均値を計算する

次に、度数分布表のみを使って平均値を求めることを考えます。

結論としては、各階級の「階級値×相対度数」を計算し、その合計を求めることで、平均値の近似を得ることができます。

#階級値×相対度数
class_mark_x_relative_freq <- class_marks * relative_freq
class_mark_x_relative_freq

#平均値の近似
approx_mean_height_cm <- sum(class_mark_x_relative_freq)
approx_mean_height_cm

## [1]  1.7875 11.1000 36.3375 59.2500 36.6750 12.6000
## [1] 157.75

先に計算した平均値「157.575」と比較すると、階級値×相対度数の合計「157.75」は非常に近い値であることがわかります。

なぜ平均値の近似が得られるのか

相対度数は、以下のように定義されます。

$$ 相対度数_i = \frac{度数_i}{全体のデータ数n} $$

したがって、階級値×相対度数の合計の計算は、以下の式変形が可能です。

$$
\begin{eqnarray*}
\sum_{i} (\text{階級値}_i \times \text{相対度数}_i)
&=& \sum_{i} \left(\text{階級値}_i \times \frac{\text{度数}_i}{n}\right) \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i} (\text{階級値}_i \times \text{度数}_i) \\
&\approx& \text{平均値}
\end{eqnarray*}
$$

各階級に属するデータを全てその階級の代表値（階級値）に置き換えたと考えると、それに各階級の度数を掛け合わせることで、「全データの（仮想的な）合計」であると解釈できます。

この「仮想的な合計」を全データ数nで割ることで「生データを階級値で近似した場合の平均値」が得られる、というわけです。

このようにして計算される平均値を「加重平均（weighted mean）」といいます。

度数分布表の読み方

上記を踏まえて、度数分布表の読み方を整理します。

たとえば、第4階級「156–160」には 30 個のデータがあります。

156~160 cmの身長の人が30人いる（実際のデータから直接読み取れる事実）
158 cmちょうどの身長の人が30人いる（階級値を用いた近似的な解釈）

このように考えることで、度数分布表から平均値を近似的に求めることが可能になります。

ヒストグラムと平均値

身長データのヒストグラムを作成すると、以下のようになります。

ヒストグラムを作成（Rコード）

#ヒストグラム
hist(
  height_cm,
  breaks = class_breaks,
  include.lowest = TRUE,
  right  = TRUE,
  xaxt = "n"
)

axis(
  side = 1,
  at = class_marks,
  labels = class_marks
)

このヒストグラムに、度数分布表から計算した平均値（157.75）の位置を破線で示すと、以下のようになります。

# 平均値の位置に垂直線（破線）を引く
abline(
  v = approx_mean_height_cm,     # 平均値の位置
  col = "red",                   # 線の色
  lwd = 2,                       # 線の太さ
  lty = 2                        # 破線
)

ヒストグラム上で平均値が持つ意味を考えると、「ヒストグラムを”やじろべえ”と見なしたときのつり合いの支点（重心）」であると捉えることができます。

平均値の捉え方

本書では、平均値の特徴を次の3点に整理しています。

分布するデータを代表する1点である（データは平均値の周囲に分布している）
多く現れるデータほど平均値への影響が大きい
ヒストグラムが左右対称の場合、平均値は対称軸上に位置する

まず、平均値は「代表値」の一つであり、通常はデータが分布している範囲の中に位置します。この点は、ヒストグラムを「やじろべえ」と見なしたときの重心を思い浮かべると理解しやすいです。

次に、平均値は「階級値 × 相対度数」を全階級について足し合わせて計算されます。そのため、度数が多い階級ほど相対度数が大きくなり、平均値に与える影響も大きくなります。。

最後に、ヒストグラムが左右対称な形をしている場合、左右の重さがつり合うため、平均値（重心）はちょうど中央の位置に現れます。この点も、やじろべえのイメージを使うと直感的に理解できます。

練習問題

本書 P.30に掲載されている架空のデータから、上記と同じ方法で度数分布表を作成し、平均値を計算します。

# 架空データ

class_marks <- c(30, 50, 70, 90, 110, 130) #階級値
freq <- c(5, 10, 15, 40, 20, 10) #度数

結果は、以下のようになりました。

#相対度数
relative_freq <- freq / sum(freq)

#階級値×相対度数
class_mark_x_relative_freq <- class_marks * relative_freq

#データフレームに変換して整形
freq_df <- data.frame(
  class_marks,
  freq,
  relative_freq,
  class_mark_x_relative_freq
)
freq_df

#平均値の計算
sum(freq_df$class_mark_x_relative_freq)

##   class_marks freq relative_freq class_mark_x_relative_freq
## 1          30    5          0.05                        1.5
## 2          50   10          0.10                        5.0
## 3          70   15          0.15                       10.5
## 4          90   40          0.40                       36.0
## 5         110   20          0.20                       22.0
## 6         130   10          0.10                       13.0

## [1] 88

まとめ

今回の記事では、度数分布表を用いて平均値を近似的に求める方法を、Rによる実装とあわせて整理しました。

生データが手元にない場合や、分布の形と代表値の関係を考えたい場合に、平均値を「階級値 × 相対度数」の合計として求める考え方は有効です。

これは、本書でも強調されている重要なポイントです。

この計算、（階級値×相対度数の合計）は、統計学の全体にわたって使われるものなので、よく記憶に留めておいてほしいと思います。できれば、この計算が自然に思えるまで、しっかりと頭に入れてもらいたいのです。
小島寛之『完全独習　統計学入門』P.26

度数分布表から平均値を求めるという今回の内容は、単なる計算手法にとどまらず、「平均値とは何か」「代表値とはどのような意味を持つのか」を理解するための基礎になります。

今回に限らず、今後統計学を学ぶうえでも、この考え方を意識しながら理解を深めていきたいところです。

よかったらシェアお願いします！

URLをコピーしました！

URLをコピーしました！